пятница, 28 ноября 2008 г.

Умножение чисел

Тема умножения чисел в уме, да и вообще устного счета, достаточно широко обсуждается в мнемонических кругах. Поэтому в данной статье я бы хотел обратить внимание лишь на то, как вставные точки (см. Вставные точки) позволяют расширить «оперативную» память в процессе перемножения многозначных чисел.

1. Первое что приходит в голову при попытке перемножить большие числа это сделать данную операцию по знакомому алгоритму, а именно: в столбик. При этом обычно прибегают к различным изощрениям: делают это справа налево, слева направо, пытаются преобразовать сначала исходные числа и т.д. Но все это тщетно, ибо как только числа становятся достаточно большими, просто не хватает памяти, цифры начинают расплываться и путаться.
2. Если человек перемножающий числа мнемоник (или мнемонист), то он попытается преобразовать числа в образы и зафиксировать их на крючках (опорных образах). Например, он может мысленно раскладывать на столе предметы по форме напоминающие цифры или делать нечто подобное. Данный способ, конечно, решает проблему путаницы, но создает еще большую проблему продуктивности. Скорость может снизиться в десятки раз, потому как требуется частое преобразование информации из одной формы в другую.
3. Чтобы избежать вышеуказанных проблем необходимо взять достоинства обоих методик и убрать недостатки. Этого можно достигнуть, используя вставные точки. Для примера возьмем трехзначные числа 123 и 456.
4. Сначала надо условиться, что алгоритм перемножения будет отличаться от классического столбика. Так как оперативная память ограничена, и мы не можем себе позволить выписывать несколько строк цифр, а потом их складывать, лучше их складывать сразу, при этом у нас получиться единственная строка, которая и будет ответом. Алгоритм таков: сначала берем последнюю цифру каждого числа и перемножаем их, записываем снизу (3*6=18, 8 пишем, 1 в уме). Далее расширяет поле до двух последних цифр каждого числа, и перемножаем их наискосок: предпоследнюю первого числа на последнюю второго числа плюс последнюю первого числа на предпоследнюю второго числа, записываем снизу (1+2*6+3*5=1+27=28, 8 пишем, 2 в уме). Далее расширяем поле до трех цифр (2=1*6+2*5+3*4=2+28=30, 0 пишем, 3 в уме). Снизу всегда записываем последнюю цифру. То, что остается в уме, пишем над последней цифрой мелким шрифтом (см. рисунок 1). После того как доходим до максимальной длины поля, начинаем уменьшать его с конца (3+1*5+2*4=3+13=16, 6 пишем, 1 в уме, 1+1*4=1+4=5, 5 пишем, 0 в уме).


Рисунок 1. Алгоритм умножения

5. Первое что надо сделать, это мысленно написать исходные числа на воображаемой доске или листке бумаге, но при этом, чтобы числа не путались в процессе вычисления, необходимо их промаркировать. Маркировка может быть любая: измененный шрифт, дополнительные элементы, размер, жирность, наклон и пр. Главная функция маркировки – отличать цифры, делать их уникальными (см. рисунок 2).


Рисунок 2. Исходные числа

6. Далее необходимо запомнить конфигурацию цифр. Для этого можно соединить пары цифры по горизонтали и по вертикали: 1 и 2, 1 и 4, 2 и 3, 2 и 4, 3 и 6, 4 и 5, 5 и 6. Это нужно для того чтобы не перепутать порядок цифр, а, кроме того, чтобы возник эффект «естественного видения» чисел на доске. В идеале конечно лучше увидеть все цифры одновременно, но объем внимания вряд ли это позволит.
7. После запоминания исходных чисел переходим собственно к умножению согласно алгоритму, приведенному в п.4. При этом получающиеся результаты будем также записывать с маркировкой справа налево (см. рисунок 3).


Рисунок 3. Результат

8. При умножении цифр надо сразу складывать результаты, это наводит на мысль о том, что остаток, которые мы держим в уме можно вообще не записывать на мысленную доску. Но тогда если мы случайно собьемся, придется вернуться к предыдущей операции, а может быть и началу. Так что без четко отточенного навыка рекомендуется остатки также записывать на доску.
9. Скорость такого перемножения чисел зависит нелинейно от количества знаков исходных чисел. У меня, например, уходит около 5 минут на перемножение 3-значных, 25 на 5-значные, 50 на 7-значные.

2 комментария:

denis230 комментирует...

А как на счет метода умножения изложенного в книге
Хэндли, Билл 'Считайте в уме как компьютер' [2006].djvu

мне кажется тоже очень интересное решение, и вот 2-3 значные числа я уже умножаю не очень долго

Виктор комментирует...

Решил вспомнить то, что умел делать 35 лет назад - нашёл у вас методику. Умножение пошло очень хорошо - 3-хзначные в пределах 1 мин, 4-хзначные за 90-110 сек. Это потому, что не было в детстве калькуляторов и даже когда они появились любил считать в уме.